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2015考研数学一答案 2015考研数学一真题【正确答案】

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作者:西西小熊点击:55次评论:0次标签: 考研

  • 类型:外语学习大小:5M语言:中文 评分:8.5
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2015年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试题及正确答案!

下边以文字的形式为大家带来全部题目及其答案!

一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.

(1)设函数在内连续,其中二阶导数的图形如图所示,则曲线的拐点的个数为                                           (   )

(A)             (B)           (C)             (D)  


【答案】(C)

【解析】拐点出现在二阶导数等于0,或二阶导数不存在的点,并且在这点的左右两侧二阶导函数异号。因此,由的图形可得,曲线存在两个拐点.故选(C).

(2)设是二阶常系数非齐次线性微分方程的一个特解,则                                                            (   )

(A)             

(B)           

(C) 

(D) 

【答案】(A)

【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——已知解来确定微分方程的系数,此类题有两种解法,一种是将特解代入原方程,然后比较等式两边的系数可得待估系数值,另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解,也就是下面演示的解法.

【解析】由题意可知,、为二阶常系数齐次微分方程的解,所以2,1为特征方程的根,从而,,从而原方程变为,再将特解代入得.故选(A)


(3) 若级数条件收敛,则 与依次为幂级数的 (   )

(A) 收敛点,收敛点             

(B) 收敛点,发散点          

(C) 发散点,收敛点

(D) 发散点,发散点

【答案】(B)

【分析】此题考查幂级数收敛半径、收敛区间,幂级数的性质.

【解析】因为条件收敛,即为幂级数的条件收敛点,所以的收敛半径为1,收敛区间为.而幂级数逐项求导不改变收敛区间,故的收敛区间还是.因而与依次为幂级数的收敛点,发散点.故选(B).


(4)  设是第一象限由曲线,与直线,围成的平面区域,函数在上连续,则                    (   )

(A)             

(B)       

(C) 

(D)  

【答案】(B)

【分析】此题考查将二重积分化成极坐标系下的累次积分

【解析】先画出D的图形,











所以,故选(B)


(5) 设矩阵,,若集合,则线性方程组有无穷多解的充分必要条件为                                  (   )

(A)        

(B)     

(C) 

(D) 

【答案】D

【解析】,

由,故或,同时或。故选(D)


(6)设二次型 在正交变换为 下的标准形为 ,其中 ,若 ,则在正交变换下的标准形为                                                                   (   )

(A) 

(B) 

(C) 

(D) 

【答案】(A)

【解析】由,故.且

.



所以。选(A)


 (7) 若A,B为任意两个随机事件,则                                   (   )

(A)               (B) 

(C)               (D) 

【答案】(C)

【解析】由于,按概率的基本性质,我们有且,从而,选(C) .


(8)设随机变量不相关,且,则 (   )

(A)         (B)           (C)          (D) 

【答案】(D)

【解析】

          ,选(D) .


二、填空题:914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.

(9) 


【答案】

【分析】此题考查型未定式极限,可直接用洛必达法则,也可以用等价无穷小替换.

【解析】方法一:

方法二:


(10) 

【答案】

【分析】此题考查定积分的计算,需要用奇偶函数在对称区间上的性质化简. 

【解析】 

(11)若函数由方程确定,则

【答案】

【分析】此题考查隐函数求导.

【解析】令,则


又当时,即.

所以,因而

(12)设是由平面与三个坐标平面平面所围成的空间区域,则

【答案】

【分析】此题考查三重积分的计算,可直接计算,也可以利用轮换对称性化简后再计算.

【解析】由轮换对称性,得

其中为平面截空间区域所得的截面,其面积为.所以


(13) 阶行列式

【答案】

【解析】按第一行展开得





(14)设二维随机变量服从正态分布,则

【答案】 

【解析】由题设知,,而且相互独立,从而


      .


三、解答题:15~23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

(15)(本题满分10分) 设函数,,若与在是等价无穷小,求的值.

【答案】

【解析】法一:原式




法二:


因为分子的极限为0,则

,分子的极限为0,


(16)(本题满分10分) 设函数在定义域I上的导数大于零,若对任意的,由线在点处的切线与直线及轴所围成区域的面积恒为4,且,求的表达式.

【答案】.

【解析】设在点处的切线方程为:

令,得到,

故由题意,,即,可以转化为一阶微分方程,

即,可分离变量得到通解为:,

已知,得到,因此;

即.

(17)(本题满分10分)

已知函数,曲线C:,求在曲线C上的最大方向导数.

【答案】3

【解析】因为沿着梯度的方向的方向导数最大,且最大值为梯度的模.

故,模为,

此题目转化为对函数在约束条件下的最大值.即为条件极值问题.

为了计算简单,可以转化为对在约束条件下的最大值.

构造函数:

,得到.

所以最大值为.

(18)(本题满分 10 分)

(I)设函数可导,利用导数定义证明

(II)设函数可导,,写出的求导公式.

【解析】(I)

           

           

           

(II)由题意得

          

(19)(本题满分 10 分) 

    已知曲线L的方程为起点为,终点为,计算曲线积分.

【答案】

【解析】由题意假设参数方程

(20) (本题满11分)
     设向量组的一个基,.

(I)证明向量组的一个基;

(II)当k为何值时,存在非0向量在基与基下的坐标相同,并求所有的.

【答案】

【解析】(I)证明:

   

的一个基.

(II)由题意知,

,得k=0

(21) (本题满分11 分) 

设矩阵相似于矩阵.

(I) 求的值;

(II)求可逆矩阵,使为对角矩阵..

【解析】(I) 

(II)

的特征值

的基础解系为

的基础解系为

A的特征值

(22) (本题满分11 分) 设随机变量的概率密度为

 进行独立重复的观测,直到2个大于3的观测值出现的停止.记为观测次数.

(I)求的概率分布;

(II)求           

【解析】(I) 记为观测值大于3的概率,则

     从而 

的概率分布;

 (II)

,则

所以

从而.

(23) (本题满分 11 分)设总体X的概率密度为:

其中为未知参数,为来自该总体的简单随机样本.

(I)求的矩估计量.

(II)求的最大似然估计量.

【解析】(I) 

,即,解得的矩估计量;

    (II) 似然函数

时,,则.

从而,关于单调增加,

所以的最大似然估计量.

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